Los temas de probabilidad que se tratan en esta sección son: qué es la probabilidad y algunas de sus propiedades.

Son temas que tienen una analogía muy fuerte con la combinatoria, entonces es recomendable leer la sección correspondiente antes de meterse con probabilidad.

Otra advertencia: en esta sección aparecen bastantes palabras técnicas. No es el objetivo que recuerdes cada una de ellas, están ahí para que si en algún momento te encontrás algún libro u otra fuente sobre probabilidad, puedas mirar cómo se corresponden las ideas que se cuentan acá con las de la otra fuente.

Supongamos que tenemos una moneda, y la tiramos al aire varias veces para ver de qué lado cae. El conjunto de resultados posibles es $\{Cara, Ceca\}$, que tiene dos elementos. En principio (supongamos que la moneda no está cargada) esperamos que aproximadamente la mitad de las veces salga cara, y la otra mitad salga ceca (esta idea tiene que ver con la idea de frecuencia observada, o “frecuencia muestral”). Usamos la idea de probabilidad para poder expresar esta intuición en el lenguaje de la matemática, y así poder usarla para hacer cuentas y resolver problemas con ella.

Vamos a decir que la probabilidad de que la moneda salga cara $P(Cara)$ es de 1/2, y la probabilidad de que salga ceca $P(Ceca)$ también es 1/2.

Si en cambio tenemos un dado de 6 caras, hay 6 resultados posibles para una tirada de dado: el conjunto es $\{1,2,3,4,5,6\}$. Al mismo tiempo, no hay razón para decir que uno de los resultados es más probable que otro, si el dado está balanceado. Entonces, cada uno de los 6 números tiene probabilidad 1/6 de ocurrir. Cuando en un conjunto de resultados todos tienen la misma probabilidad de salir, llamamos a este conjunto equiprobable. En un conjunto equiprobable de $n$ elementos, cada uno tiene probabilidad $1/n$ de ocurrir.

Sobre este conjunto de resultados posibles podemos definir distintos eventos que nos interesen observar. Elemplos de evento pueden ser: “la moneda sale cara”, “sale un 3 en el dado”, “sale un número impar en el dado”, “tiro un dado y sale un 7” o “tiro una moneda y sale cara o ceca” (puede pasar que los eventos sean imposibles también, o que pasen siempre).

Para encontrar la probabilidad de estos eventos, tenemos que calcular la cantidad de resultados favorables, sobre la cantidad de resultados posibles. Vamos a calcular esto para los ejemplos de arriba:

• E = “la moneda sale cara”: $$P(E) = \frac{|\{Cara\}|}{|\{Cara, Ceca\}|} = \frac{1}{2}$$
• E = “sale un 3 en el dado”: $$P(E) = \frac{|\{3\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} = \frac{1}{6}$$
• E = “sale un número impar en el dado”: $$P(E) = \frac{|\{1,3,5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
• E = “sale 7 en un dado”: $$P(E) = \frac{|\{\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} = \frac{0}{6} = 0$$
• E = “tiro una moneda y sale cara o ceca”: $$P(E) = \frac{|\{Cara, Ceca\}|}{|\{Cara, Ceca\}|} = \frac{2}{2} = 1$$

Si un evento no pasa nunca, la probabilidad da cero (no hay casos favorables). Si pasa siempre da 1 (porque todos los casos son favorables).

Ahora que ya sabemos calcular la probabilidad de distintos eventos, nos interesa saber cómo combinar estos eventos, de diferentes maneras.

Vamos a calcular la probabilidad de que ocurra un evento ú otro solamente cuando los eventos no pueden pasar nunca al mismo tiempo (si ocurre esto se dice que los eventos son “mutuamente excluyentes”).

Digamos que $E_1$ y $E_2$ son nuestros eventos, y que tienen $F_1$ y $F_2$ casos favorables respectivamente. Como no pasan nunca juntos, para obtener los casos favorables de la unión de estos eventos basta con sumar la cantidad de casos favorables para cada uno por separado.

Entonces $$P(E_1\text{ ó } E_2) = \frac{F_1 + F_2}{|\text{Casos posibles}|} = \frac{F_1}{|\text{Casos posibles}|} + \frac{F_2}{|\text{Casos posibles}|} = P(E_1) + P(E_2)$$

Si sabemos la probabilidad de un evento $E$, nos gustaría saber cuál es la probabilidad de que no pase E (lo vamos a escribir como $E^c$). Para este nuevo evento, los casos favorables son exactamente los que no son favorables para el evento $E$.

Esto quiere decir que no tienen elementos en común, entonces podemos aplicar la regla anterior y decir que $$P(E) + P(E^c) = P(E \text{ ó } E^c)$$ Pero además sabemos que siempre pasa o bien $E$ o bien $E^c$, por lo que $P(E \text{ ó } E^c) = 1$. Entonces, pasando $P(E)$ restando tenemos que: $$P(E^c) = 1 - P(E)$$

En esta parte vamos a usar un poco de combinatoria. Primero, vamos a entender cuál es el conjunto de resultados posibles de 2 eventos. Supongamos que tiramos una moneda y un dado. ¿Qué resultados posibles se pueden obtener?

Veamos: la moneda puede salir Cara o Ceca, y el dado puede ser cualquier número de 1 a 6. Para cada resultado de la moneda tenemos 6 casos posibles:

• Para Cara: $(Cara, 1), (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 4), (Cara, 5), (Cara, 6)$
• Para Ceca: $(Ceca, 1), (Ceca, 2), (Ceca, 3), (Ceca, 4), (Ceca, 5), (Ceca, 6)$

Otra forma de verlo: el primer resultado se puede elegir de dos maneras, y una vez que está elegido, el otro se puede elegir de 6. Entonces la cantidad de eventos posibles es $2*6=12$. En general, si tengo dos eventos que no se afectan entre sí (es decir, que son independientes entre sí), la cantidad de casos posibles es el producto de los casos posibles para cada uno.

Para los casos favorables ocurre algo similar: hay tantos casos favorables como la cantidad de formas de elegir un caso favorable para la moneda, y luego un caso favorable para el dado. Supongamos que queremos saber la probabilidad de que salga Cara en la moneda y que además salga un múltiplo de 3 en el dado. Los casos favorables son $(Cara, 3), (Cara, 6)$.

O bien, que el primer resultado se puede elegir de una manera y el segundo de dos. Entonces los casos favorables son $1*2 = 2$.

La probabilidad entonces queda: $2/12 = 1/6$. Pero si escribimos los productos en vez del resultado para cada cuenta queda (es recomendable tomarse un rato para convencerse de esto): $$\frac{1*2}{2*6} = \frac{1}{2} * \frac{2}{6} = P(Cara) * P(\text{múltiplo de 3})$$

Esto vale en general, y se cumple que si dos eventos son independientes, la probabilidad de que pasen ambos a la vez es el producto de las probabilidades.

OJO, hay que fijarse que las cosas sean independientes de verdad: por ejemplo, supongamos que tiro una moneda, y que si sale Cara, tiro un dado de 6 caras, pero si sale Ceca, tiro un dado de 4 caras. En este caso la segunda tirada depende del resultado de la primera, con lo cual no son independientes. El conjunto de resultados posibles para este caso es:

• Para Cara: $(Cara, 1), (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 4), (Cara, 5), (Cara, 6)$
• Para Ceca: $(Ceca, 1), (Ceca, 2), (Ceca, 3), (Ceca, 4)$

Que da un total de 10 resultados posibles.