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Grafos

Siempre que hablemos de árboles vamos a estar hablando en grafos conexos. Para que un grafo sea un árbol necesita ser conexo, entonces lo daremos por sentado.

Un árbol es un tipo de grafo particular. Una de las particularidades que tiene es que no tiene ciclos. Las siguientes características son equivalente, es decir, si un grafo (conexo) cumple una, cumple las demás:

• $E=V-1$ (la cantidad de aristas es uno menos que la cantidad de nodos)
• No tiene ciclos
• Al agregar una arista entre dos nodos no adyacentes, aparece un ciclo
• Al sacar cualquier arista existente, el grafo se desconecta
• Para cada par de nodos existe un único camino simple (que no repite vértices)

Dejo un grafo de este tipo para tener en la cabeza al seguir leyendo:

Algo interesante que podemos hacer en todos los árboles es establecer un nodo raíz. Si establecemos un nodo como raíz, por ejemplo si setemos la raíz como el nodo $1$ ó $2$ en el árbol de recién, convendría (y se suele) dibujarlos así respectivamente:

Para un árbol con raíz, tienen sentido las siguiente definiciones:

Altura o Profundidad de un nodo: Es la longitud del camino entre el nodo y la raíz. En el árbol de raíz $1$, las alturas de los nodos $1$, $5$, $3$ son $0$, $1$, $2$ respectivamente.

Hojas: Son los nodos desde los cuales es imposible ir a otro nodo más alejado de la raíz sin “subir” (acercarnos a la raíz). En el árbol de raíz $1$, las hojas son los nodos $3$, $4$ y $6$.

Padre de un nodo: Es el nodo que está inmediatamente arriba de él, es decir que es adyacente al nodo, y está en el camino entre el nodo y la raíz. La raíz no tiene padre. En el árbol de raíz $1$, el padre de $6$ es $5$ y el de $5$ es $1$.

Hijos de un nodo: Son los nodos adyacentes a él que tienen altura mayor a él. Las hojas no tienen hijos. En el árbol de raíz $1$, el único de $2$ es $3$, y los hijos de $1$ son $2$, $5$ y $4$.

Subárbol dado por un nodo: Es el árbol que queda formado por el nodo dado, sus hijos, los hijos de sus hijos, y así hasta llegar a las hojas. La raíz del subárbol es el nodo dado. El subárbol de una hoja es simplemente ese mismo nodo. En el árbol de raíz $1$, el subárbol del nodo $5$ son sólo los nodos $5$ y $6$ con la arista que los une.