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algoritmos-oia:busqueda-binaria-separadora
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algoritmos-oia:busqueda-binaria-separadora [2018/01/19 04:36] santo |
algoritmos-oia:busqueda-binaria-separadora [2018/01/19 15:02] (actual) santo [Búsqueda binaria separadora] |
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| ====== Búsqueda binaria separadora ====== | ====== Búsqueda binaria separadora ====== | ||
| - | En este artículo, se discute un uso avanzado de la búsqueda binaria, para una situación particular. Es requisito entender bien la [[algoritmos-oia:busqueda-binaria|búsqueda binaria]] usual. Las ideas desarrolladas pueden servir también en otros problemas. | + | En este artículo, se discute un uso avanzado de la búsqueda binaria, para una situación muy particular. Es requisito entender bien la [[algoritmos-oia:busqueda-binaria|búsqueda binaria]] usual. Las ideas desarrolladas pueden servir también en otros problemas. |
| ==== Situación ==== | ==== Situación ==== | ||
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| Un claro caso malo para la idea anterior, sería que todas las búsquedas binarias operen sobre un rango muy grande, es decir, que la optimización casi no logre reducir el tamaño de los rangos buscados. Para que esto ocurra, casi todas las fronteras estarán **muy cerca** entre sí, de modo que "saltar" a la siguiente presente muy poco ahorro. Entonces, el problema a subsanar es que si el corte se encuentra muy cerca del comienzo, igual nuestra búsqueda binaria siempre tarda $\lg N$ pasos hasta llegar allí, porque siempre comienza por el medio. | Un claro caso malo para la idea anterior, sería que todas las búsquedas binarias operen sobre un rango muy grande, es decir, que la optimización casi no logre reducir el tamaño de los rangos buscados. Para que esto ocurra, casi todas las fronteras estarán **muy cerca** entre sí, de modo que "saltar" a la siguiente presente muy poco ahorro. Entonces, el problema a subsanar es que si el corte se encuentra muy cerca del comienzo, igual nuestra búsqueda binaria siempre tarda $\lg N$ pasos hasta llegar allí, porque siempre comienza por el medio. | ||
| - | Una manera de subsanar esto es comenzar siempre desde el principio del rango, pero probando sucesivamente "saltos" de tamaños potencia de 2, cada vez más grandes. Es decir, si $a$ es la posición "base" donde encontramos el corte anterior (de modo que sabemos que el corte de este paso está más adelante), comenzamos evaluando $f$ en las posiciones $a+1$, $a+2$, $a+4$, $a+8$, $a+16$, y así siguiendo hasta que alguna cumpla $f(x) \geq t$, siendo $t$ el valor que buscamos para el corte actual((Si ninguna cumple y saltamos fuera del rango posible, lo consideramos como que funcionó la primera posición fuera de rango)). | + | Una manera de subsanar esto es comenzar siempre desde el principio del rango, pero probando sucesivamente "saltos" de tamaños potencia de 2, cada vez más grandes. Es decir, si $a+1$ es la posición "base" donde encontramos el corte anterior (de modo que sabemos que el corte de este paso está más adelante que $a$), comenzamos evaluando $f$ en las posiciones $a+1$, $a+2$, $a+4$, $a+8$, $a+16$, y así siguiendo hasta que alguna cumpla $f(x) \geq t$, siendo $t$ el valor que buscamos para el corte actual((Si ninguna cumple y saltamos fuera del rango posible, lo consideramos como que funcionó la primera posición fuera de rango)). |
| Luego, sabremos que el corte debe aparecer dentro del último "salto", y podemos buscarlo allí con una búsqueda binaria usual: por ejemplo, si $f(a+8) < t$, pero $f(a+16) \geq t$, descubrimos que el corte está entre $a+8$ y $a+16$, así que allí lo buscamos con búsqueda binaria. | Luego, sabremos que el corte debe aparecer dentro del último "salto", y podemos buscarlo allí con una búsqueda binaria usual: por ejemplo, si $f(a+8) < t$, pero $f(a+16) \geq t$, descubrimos que el corte está entre $a+8$ y $a+16$, así que allí lo buscamos con búsqueda binaria. | ||
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| Entonces, lo que haremos en esta versión del algoritmo será **siempre preguntar por el elemento central**. La idea quizás es menos clara ahora, pues en lugar de ir incrementalmente "corte por corte", para aprovechar siempre toda la información que tenemos y no repetir preguntas innecesarias, lo que conviene es calcular **todos los cortes** en la misma función recursiva. | Entonces, lo que haremos en esta versión del algoritmo será **siempre preguntar por el elemento central**. La idea quizás es menos clara ahora, pues en lugar de ir incrementalmente "corte por corte", para aprovechar siempre toda la información que tenemos y no repetir preguntas innecesarias, lo que conviene es calcular **todos los cortes** en la misma función recursiva. | ||
| - | Supongamos por ejemplo, que tenemos $K=10$ y comenzamos consultando el elemento central, y es $f(c) = 7$. ¿Qué nos dice esto? Nos dice inmediatamente que las primeras apariciones de $8$ y $9$ estarán **a la derecha de $c$**, mientras que las primeras apariciones de $0$,$1$,$2$,$\dots$,$7$ estarán entre $0$ y $c$ inclusive. En otras palabras, el rango de $10$ cortes a analizar que teníamos se nos **separa** en dos: 8 cortes deben ser analizados del lado izquierdo, y 9 cortes deben ser analizados del lado derecho. Lo que hacemos es, recursivamente, analizar cada una de estas mitadas de la misma forma, pero sabiendo que allí la función solamente puede tomar valores en un **subrango** de los $K$ posibles valores totales. | + | Supongamos por ejemplo, que tenemos $K=10$ y comenzamos consultando el elemento central, y es $f(c) = 7$. ¿Qué nos dice esto? Nos dice inmediatamente que las primeras apariciones de $8$ y $9$ estarán **a la derecha de $c$**, mientras que las primeras apariciones de $0$,$1$,$2$,$\dots$,$7$ estarán entre $0$ y $c$ inclusive. En otras palabras, el rango de $10$ cortes a analizar que teníamos se nos **separa** en dos: 8 cortes deben ser analizados del lado izquierdo, y 2 cortes deben ser analizados del lado derecho. Lo que hacemos es, recursivamente, analizar cada una de estas mitades de la misma forma, pero sabiendo que allí la función solamente puede tomar valores en un **subrango** de los $K$ posibles valores totales. |
| Supongamos que analizamos el caso derecho, por ejemplo: Allí, sabemos que la función solo puede tomar valores $7$, $8$ y $9$, y nos interesa descubrir la primera aparición de $8$ y de $9$ (la primera de 7 no, porque sabemos que apareció antes, ya que una llamada recursiva "nos llamó" habiendo descubierto un valor $7$ a nuestra izquierda). Preguntamos como siempre en la mitad de nuestro rango: ¿Qué pasaría si encontramos un $7$? Sabríamos inmediatamente que la mitad izquierda no sirve para nada, y podemos ignorarla quedando solamente con la mitad derecha, y los mismos valores posibles $7,8,9$. Es decir, en tal caso **reducimos el problema a la mitad**. Lo mismo hubiera ocurrido si hubiéramos encontrado un $9$: La mitad derecha resultaría inútil, y en la izquierda seguiríamos buscando los mismos dos cortes. | Supongamos que analizamos el caso derecho, por ejemplo: Allí, sabemos que la función solo puede tomar valores $7$, $8$ y $9$, y nos interesa descubrir la primera aparición de $8$ y de $9$ (la primera de 7 no, porque sabemos que apareció antes, ya que una llamada recursiva "nos llamó" habiendo descubierto un valor $7$ a nuestra izquierda). Preguntamos como siempre en la mitad de nuestro rango: ¿Qué pasaría si encontramos un $7$? Sabríamos inmediatamente que la mitad izquierda no sirve para nada, y podemos ignorarla quedando solamente con la mitad derecha, y los mismos valores posibles $7,8,9$. Es decir, en tal caso **reducimos el problema a la mitad**. Lo mismo hubiera ocurrido si hubiéramos encontrado un $9$: La mitad derecha resultaría inútil, y en la izquierda seguiríamos buscando los mismos dos cortes. | ||
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| - | El "valor teórico" $K \lg \left( \frac{N}{K} \right )$ en estos ejemplos da un valor $13287,7$, extremadamente cercano a lo que obtiene el método recursivo. | + | El "valor teórico" $K \lg \left( \frac{N}{K} \right )$ en estos ejemplos da un valor extremadamente cercano a lo que obtiene el método recursivo. |
| Notar que los algoritmos "directos" que hacen $K-1$ búsquedas binarias superarían en este caso al algoritmo de saltos exponenciales. Esto tiene sentido ya que cuando $K$ no es demasiado grande, realizar todas las búsquedas binarias individuales no es comparativamente tan malo. | Notar que los algoritmos "directos" que hacen $K-1$ búsquedas binarias superarían en este caso al algoritmo de saltos exponenciales. Esto tiene sentido ya que cuando $K$ no es demasiado grande, realizar todas las búsquedas binarias individuales no es comparativamente tan malo. | ||
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| Para una corrida con valores de $K$ más extremos tendremos: | Para una corrida con valores de $K$ más extremos tendremos: | ||
| - | <code cpp> | + | <code> |
| Para N=10000000 y K=100000 | Para N=10000000 y K=100000 | ||
| Evaluaciones con saltos exponenciales : 1271222 | Evaluaciones con saltos exponenciales : 1271222 | ||
algoritmos-oia/busqueda-binaria-separadora.1516336596.txt.gz · Última modificación: 2018/01/19 04:36 por santo
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