Se llama *análisis amortizado* de complejidad a una forma de medir el costo de ciertas operaciones, en la cual no contamos el tiempo real que toma cada operación particular, sino que medimos el tiempo total que toma realizar $n$ operaciones cualesquiera, y si ese tiempo es $T$, decimos finalmente que cada operación particular tiene una complejidad amortizada de $O\left(\frac{T}{n}\right)$.

Lo interesante es que, como en la inmensa mayoría de los casos nos importa solamente el tiempo total, y no el tiempo que efectivamente tardó una operación en particular, podemos perfectamente realizar todos los cálculos de complejidad suponiendo que las operación tardan siempre el tiempo promedio, y el resultado final obtenido será siempre correcto para el tiempo total.

Varias operaciones de las bibliotecas estándar, como la STL de C++, garantizan sus tiempos de ejecución en forma amortizada, como por ejemplo .push_back() de vector que tiene un tiempo de ejecución $O(1)$ amortizado.

Supongamos que tenemos que implementar manualmente un contador binario: es decir, vamos a tener que mantener actualizada una lista de dígitos en binario, que representan un número, comenzando desde $0$, e incrementando el número en cada paso.

Si almacenamos el contador binario en un string, podemos inicializarlo con $N$ dígitos cero:

    string contador(N, '0');

Y a continuación, tendremos que implementar la operación de incrementar (sumar $1$) el valor, para completar nuestro contador. Para esto podemos sumar 1 con el algoritmo usual de sumar números: Le sumamos 1 al dígito de las unidades, y si este se pasa de lo permitido, dejamos un 0 y “nos llevamos uno” hacia la izquierda, continuando con la suma.

Esta idea se podría implementar de la siguiente manera:

void incrementar(string &contador)
{
    int N = int(contador.size());
    while (N > 0)
    {
        N--;
        contador[N]++;
        if (contador[N] < '2')
            break;
        else
            contador[N] = '0';
    }
}

Se puede probar el funcionamiento de este contador con por ejemplo el siguiente fragmento:

int main()
{
    int N; cin >> N;
    string contador(N,'0');
    for (int i=0;i<(1<<N)+5;i++)
    {
        cout << contador << endl;
        incrementar(contador);
    }
    return 0;
}

Si se ingresa 3, el resultado por pantalla sería:

000
001
010
011
100
101
110
111
000
001
010
011
100

La pregunta entonces es, ¿Cuánto tiempo toma la ejecución de la función incrementar? En general, la mejor cota que podemos dar para una operación particular es $O(N)$, ya que por ejemplo en el paso que transforma 11111 en 00000, para $N=5$, se deben ir alterando todos los $N$ dígitos.

Sin embargo, veamos que en promedio, el costo de la función es mucho menor.

Para esto, tenemos que pensar exactamente cuántas veces se ejecuta el código interior del while en una llamada particular de la función incrementar. Lo que podemos observar es que esto dependerá del número que se está incrementando:

• Si el número termina en 0, se cambia por 1 y se termina en 1 solo paso.
• Si el número termina en 01, se cambia a 10, y se termina en 2 pasos.
• Si el número termina en 011, se cambia a 100, y se termina en 3 pasos.
• Si el número termina en 0111, se cambia a 1000, y se termina en 4 pasos.
• ...
• Si el número tiene todos 1, se cambia a todos 0, y se ejecutan todos los N pasos posibles.

Entonces, el costo exacto de una llamada a incrementar depende de dónde esté el último cero del número. La mitad de las veces, habrá un 0 al final y se termina en 1 solo paso. La cuarta parte de las veces, el último 0 del número estará a 2 pasos de distancia. La octava parte de las veces, el número terminará con 011 y el cero estará a 3 pasos de distancia. En general, de los $2^N$ números posibles, en $\frac{2^N}{2^i}$ se tardan $i$ pasos en terminar. Por lo tanto, el costo total si procesamos los $2^N$ números con la función incrementar será:

$$T = 2^{N-1} \cdot 1 + 2^{N-2} \cdot 2 + 2^{N-3} \cdot 3 + \cdots + 1 \cdot N$$

Como estamos realizando $2^N$ operaciones en total, el costo por operación se obtiene dividiendo al anterior por $2^N$, y entonces el costo promedio es:

$$\frac{T}{n_{ops}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + \cdots + \frac{1}{2^N} \leq 2$$

[Linkear a alguna explicación de por qué esa suma no se pasa de 2]

Por lo tanto, concluimos que la función incrementar tiene un costo amortizado $O(1)$: si hacemos las $2^N$ llamadas a incrementar necesarias para pasar por todos los valores, el costo total será $2^N \cdot O(1) = O(2^N)$, y no de $2^N \cdot N$, que sería el resultado de hacer un cálculo “pesimista”, como si todas las operaciones fueran caras.

Hemos analizado un contador binario, pero un análisis completamente análogo mostraría que la misma técnica tiene complejidad amortizada $O(1)$ al incrementar un contador ternario, o en base 10, o en cualquier otra base $B \geq 2$.

Algo muy similar a esto ocurre con la función next_permutation, que si se utiliza muchas veces para generar todas las permutaciones de una lista dada, tiene una complejidad amortizada $O(1)$.